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By Andreas Gathmann

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Auch 26 bzw. 48 wählen können. In der Tat hätten wir dann allerdings ebenfalls wieder dasselbe Endergebnis 6 + 8 = 26 + 48 = 74 = 4 erhalten — in diesem Beispiel scheint die Situation also erst einmal in Ordnung zu sein. 12 noch sehen werden. Leider ist dies jedoch nicht immer der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt. 9 (b) der Untergruppe U = ( 1 2 ) = {id, ( 1 2 )} von S3 mit den drei Linksnebenklassen id = 1 2 3 1 2 3 , 1 2 3 2 1 3 , σ1 = 1 2 3 2 3 1 , 1 2 3 3 2 1 , σ2 = 1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 1 3 2 , wobei σ1 = ( 1 2 3 ) und σ2 = ( 1 3 2 ).

Demzufolge ist die Menge aller Linksnebenklassen die n-elementige Menge Z/nZ = 0, 1, . . , n − 1 , also die „Menge aller möglichen Reste bei Division durch n“. 3 (b) hier mit Z statt mit N begonnen haben (was nötig war, da N im Gegensatz zu Z keine Gruppe ist), dass dies aber an den erhaltenen Äquivalenzklassen nichts ändert. Da dieses Beispiel besonders wichtig ist, hat die Menge Z/nZ eine besondere Bezeichnung: wir schreiben sie in der Regel als Zn := Z/nZ. 5. Äquivalenzrelationen 39 (b) Wir betrachten die Gruppe G = S3 und darin die Untergruppe U = ( 1 2 ) = {id, ( 1 2 )}.

Dann ist f (a · b−1 ) = f (a) · f (b)−1 = e, d. h. es ist a · b−1 ∈ Ker f . Nach Voraussetzung folgt also a · b−1 = e und damit a = b. 15. (a) Es sei G eine Gruppe. Für a ∈ G definieren wir die Abbildung σa : G → G, σa (b) = a · b. Zeige, dass σa ein Element der symmetrischen Gruppe S(G) ist, und dass die Abbildung f : G → S(G), f (a) = σa ein injektiver Morphismus ist. (b) Beweise, dass jede Gruppe zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph ist. 04 Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels über Morphismen nun noch einen besonders interessanten und wichtigen Morphismus konstruieren: das sogenannte Signum bzw.

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