Thomas Keilen's Algebraische Strukturen [Lecture notes] PDF

By Thomas Keilen

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Da {eH } eine Untergruppe von H ist. 32 Nach Definition muß man f¨ ur die Injektivit¨at einer Abbildung nachpr¨ ufen, daß jedes Element im Bild nur ein Urbild hat. Bei Gruppenhomomorphismen gibt es ein einfacheres Kriterium. 52 Ein Gruppenhomomorphismus α : (G, ·) → (H, ∗) ist genau dann injektiv, wenn Ker(α) = {eG }. Beweis: Ist α injektiv, so ist α−1 (eH ) h¨ochstens einelementig, und wegen α(eG ) = eH gilt dann Ker(α) = α−1 (eH ) = {eG }. Gilt umgekehrt Ker(α) = {eG }, und sind g, h ∈ G mit α(g) = α(h), so folgt wegen: eH = α(g) ∗ α(h) −1 = α(g) ∗ α h−1 = α g · h−1 , daß g · h−1 = eG , also g = h.

51 eine Untergruppe der Sn . Die Menge {σ ∈ Sn | sgn(σ) = −1} ist keine Untergruppe der Sn , da sie etwa das neutrale Element id nicht enth¨alt. 21 (Die alternierende Gruppe) a. F¨ ur σ ∈ Sn gilt sgn(σ) = sgn σ−1 . b. Ist τ = (i j) eine Transposition, so gilt Sn = An ∪· An τ. Beweis: a. Es gilt sgn(σ) · sgn σ−1 = sgn σ ◦ σ−1 = sgn(id) = 1. Daraus folgt die Behauptung, da sgn(σ) und sgn σ−1 nur die Werte 1 und −1 annehmen k¨onnen. b. Ist σ ∈ Sn , so gilt entweder sgn(σ) = 1 oder sgn(σ) = −1. In ersterem Fall ist σ ∈ An ; in letzterem Fall ist sgn(σ ◦ τ) = sgn(σ) · sgn(τ) = (−1) · (−1) = 1 und somit σ ◦ τ ∈ An , dann ist aber σ = (σ ◦ τ) ◦ τ ∈ An τ.

An ) , falls a1 , . . , an irgendeine Anordnung der Zahlen 1, . . , n ist. 2 Die Gruppe Sn ist f¨ ur n ≥ 3 nicht abelsch, denn f¨ ur die Permutationen 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 , ∈ S3 gilt 1 2 16 2 1 3 3 ◦ 1 2 2 3 3 1 = 1 1 2 3 3 2 = 1 3 2 2 3 1 = 1 2 2 3 3 1 Dies ist die Aussage des Satzes von Cayley. 60. ◦ 1 2 2 1 3 3 . 44 Beachte, daß es bei dem Schema nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Zahlen von 1 bis n in der ersten Zeile stehen. Es gilt etwa: 1 2 3 2 1 3 = 2 1 3 1 2 3 .

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