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By Wolfgang Walter (auth.)

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Pk zu einem "Multiindex" p=(p 1, ... ,pk)EJNk zusammen und setzt Ip I= p 1 + ... + Pk· Dann lautet die Polynomial-Formel A. Grundlagen 36 wobei über alle pEJNk mit lpl=n summiert wird. p 2 ! pk! und, wenn a = (a 1 , ... , ak) ist, av = a~' a~' ... af", so lautet die Formel einfach (a 1 + ... +ak)"=n! aP I · IPI~n P! Man beweise die Formel durch Induktion nach k, ausgehend vom Fall k = 2 (Binomialformel). jp! werden auch als Polynomialkoejfizienten bezeichnet. /p! auf, bestimme deren Summe und mache die Probe (mit a=b=c= 1).

2m3n von JN 2 in lN eineindeutig ist. Ist cf>(m, n) = cf>(p, q), also 2m3"= 2P 3q, und ist etwa m 5,p, so folgt 3n = 2p-m 3q. Da hier links eine ungerade Zahl steht, muß p -m =0 sein, und aus 3" = 3q folgt dann n = q, also (m, n) = (p, q). Die Funktion 4> ist also injektiv, und nach Teil (a) ist lN 2 abzählbar. (d) Jede der Mengen Ak läßt sich in der Form Ak={akn: 05,n5,pk oder nEN} schreiben. h. A ist nach (a) höchstens abzählbar. Im anderen Fall geht man zu neuen Mengen B 0 =A 0 , B 1 =A 1 '-A 0 , B 2 =A 2 '-(A 0 uA 1), ...

Nach dem Satz über die Division mit Rest ist n=mg+r, wobei m und r mit 0::;; r < g eindeutig bestimmt sind. Die gesuchte Darstellung (P) läßt sich in der Form n=z 0 + g(z 1 + ... + zPgP- 1 ) schreiben. Setzt man z 0 =r und m=z 1 + ... +zPgP- 1, was wegen m