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By Terence Tao

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5 Funzioni composte Indichiamo con X, Y, Z tre insiemi. Sia f una funzione definita in X a valori in Y , e sia g una funzione definita in Y a valori in Z. Possiamo costruire una nuova funzione h definita in X a valori in Z ponendo h(x) = g(f (x)). 9) La funzione h si dice funzione composta di f e g, e si indica con il simbolo h = g ◦ f (che si legge ‘g composto f ’). 9 Consideriamo le due funzioni reali di variabile reale y = f (x) = x−3 e z = g(y) = y 2 + 1. La funzione composta di f e g `e z = h(x) = g ◦ f (x) = (x − 3)2 + 1.

N − k + 1) = . Diremo che di insiemi distinti di k palline `e k k! tale coefficiente binomiale rappresenta il numero di combinazioni di n oggetti distinti in gruppi di k. Equivalentemente, esso rappresenta il numero dei sottoinsiemi di k elementi contenuti in un insieme di n elementi. 13) con a = b = 1, la somma di tutti i coefficienti binomiali di indice n `e uguale a 2n , che `e precisamente il numero totale dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. 5 Prodotto cartesiano Siano X e Y due insiemi non vuoti.

In conclusione, la disequazione `e verificata per x ∈ (x1 , 12 ) ∪ (1, +∞). e) −5 < x ≤ −2, − 13 ≤ x < 1, 1 < x ≤ √ 5+ 57 2 ; f) x < − 25 . g) Osserviamo dapprima che il secondo membro `e sempre ≥ 0 dove `e definito, ossia per x2 − 2x ≥ 0, cio`e per x ≤ 0 oppure x ≥ 2. La disequazione `e sicuramente verificata se il primo membro x − 3 `e ≤ 0, ovvero per x ≤ 3. Se x − 3 > 0, eleviamo al quadrato entrambi i membri ottenendo x2 − 6x + 9 ≤ x2 − 2x cio`e 4x ≥ 9 , ossia x≥ 9 . 4 Raccogliendo tutte le informazioni ottenute, concludiamo che la disequazione `e verificata dove `e definita, ossia per x ≤ 0 oppure per x ≥ 2.

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