Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)'s Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine fundierte PDF

By Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)

Das Buch gibt eine Einf?hrung in die Denkweisen, Methoden und Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie f?r Studierende der Mathematik und anderer Disziplinen. Neben einer intuitiven Verankerung der Theorie wird gro?er Wert auf realit?tsnahe Aufgaben und Beispiele gelegt. Das Buch enth?lt eine Vielzahl dieser Anwendungen aus den verschiedensten Gebieten.
Ein weiterer Vorzug: Die Beweisf?hrungen sind - bei aller mathematischen Strenge - m?glichst kurz und elementar gehalten, und es wurde Wert darauf gelegt, dass sie die ihnen zugrunde liegenden Ideen zu Tage treten lassen.
Auf diese Weise bem?ht sich das Buch, beiden Erscheinungsformen der Wahrscheinlichkeitstheorie gerecht zu werden: Als Teilgebiet der Mathematik besitzt diese alle Besonderheiten gelungener mathematischer Konzeptionen, von ausgefeilten Theoriegeb?uden ?ber strenge Argumentationslinien bis hin zu faszinierenden gel?sten und offenen Problemen. Als interdisziplin?re Wissenschaft erh?lt sie viele Anst??e von au?erhalb der Mathematik, und ihre Modelle und Methoden finden sich in so intestine wie jedem anderen Wissenschaftsbereich, von der Dynamik von Vielteilchensystemen, der stochastischen examine von Algorithmen, der Qualit?tskontrolle bis hin zur Aktienkursmodellierung und Spieltheorie.

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Bei der Bergbau-Aktiengesellschaft Constantin der Grosse in Bochum, der fruheren Gewerkschaft ver. Constantin der Grosse, werden seit dem Jahre 1951 ernsthafte Uberlegungen daruber angestellt, ob durch eine weitgehende Umstellung des Abbaubetriebes vom bisher vorwiegenden Feldwartsbau auf den Ruckbau eine durchgreifende Rationalisierung gefordert werden konne (1) (2)*).

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Anfang der zwanziger Jahre, nach Ende des 1. Weltkrieges, wurde in quick allen europäischen Ländern mit dem Ausbau der vorhandenen Bin­ nenwasserstraßen begonnen. Diese Entwicklung wurde nach 1950 in ver­ stärktem Maße fortgesetzt und dauert bis zum heutigen Tage an. Damit gewinnt das europäische Binnenwasserstraßennetz als Verbindung der Seehäfen mit den Umschlags plätzen des Binnenlandes und als Verkehrs­ weg für den zwischenstaatlichen Gütertransport in zunehmendem Maße an Bedeutung.

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Die formale Begründung: Nach Taylor-Entwicklung ist für alle x, y E I g(x) ~ g(y) + g'(y)(x - y). 27) durch E[g(X)] ~ E[g(EX)] + g'(EX)E(X - EX) = g(EX) bestätigt. Die Funktion 9 ist ein Beispiel für eine auf I konvexe Funktion. Allgemein heißt eine Funktion auf einem Intervall I konvex, wenn für alle a E [0,1] und alle x,y E I g(ax + (1- a)y) :::; ag(x) + (1 - a)g(y). 29) Dies bedeutet, dass für je zwei verschiedene Werte x und y aus I die Strecke durch die Punkte (x,g(x)) und (y,g(y)) oberhalb des Graphen von 9 verläuft.

22) lim I XndP I YkdP ::; n--+oo Kapitel 2 Grundlagen 38 erhält. Mit k -+ 00 ergeben sich hieraus die Ungleichungen lim / Xk dP :::; lim / YndP, lim / Y k dP :::; n-too lim / X n dP, k-too k-too n-too und die Gleichheit dieser Grenzwerte ist zwingend. B. Xk = 2::1 ai 1A. für disjunkte Al,· .. , Am E A. Für a > 1 und n E N definiere B n := {aYn 2: Xd. Auch die Mengen B n liegen in A und B n t n . Denn für alle wEn mit Xk(w) = 0 ist w E B n , \In E N ,und für jene wEn mit Xk(W) > 0 haben wir lim aYl(w) l-too > Xk(W), so dass W E B n immerhin für alle hinreichend großen n.

Wobei'»' das Lebesgue-Maß bezeichnet. Wir definieren X n := nl[O,l/n) . s. gegen 0, aber es ist EX n = 1, "i/n E N. Als Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz untersuchen wir abermals die Berechnung von Erwartungswerten der Form E[g(X)] für eine messbare Funktion 9 : ~ -+ R. Wir wissen bereits, dass sich mit der Verteilung Px von X dieser Erwartungswert als E[g(X)] = 9 dPx darstellen lässt. h. ist J Px(B) = L E[g(X)] =/ VBEB, fdQ, so gilt insgesamt 9 dPx =/ gfdQ. 40) Um sich davon zu überzeugen, sei 9 zunächst eine elementare Funktion auf R, also m 9 = LQi1B i , i=l Dann bestätigt J gdPx = fQ~Px(Bi) = i=l = f (t.

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